Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.11 Blz 154-159

In de Wiskunde krijg je veel te maken met allerlei verbanden en functies. Voor de basis kennis over Functies en Verbanden verwijs ik u graag naar dit ARTIKEL. Maar in dit artikel wordt de Focus gelegd op Exponentiële Functies en verbanden (met een paar handige voorbeelden die het verhaal verduidelijken).

Exponentiële Functies en Logaritmen

Als we gaan praten over Exponentiële functies dan komen daar ook logaritmen bij kijken. Voor de meeste mensen zijn logaritmen moeilijk maar dat valt best mee! Verder in dit artikel kom ik terug op de logaritmen.

Exponentiële Verbanden

Een bekend voorbeeld van Exponentiële groei is het schaakbord met de graankorrels. In het oude Perzië mocht niemand van de koning een beloning uitkiezen. Desnoods het halve koninkrijk

Maar de gevraagde beloning was 1 graankorrel op het eerste vakje van een schaakbord, 2 korrels op het tweede vakje, 4 korrels op het derde vakje, 8 korrels op het vierde vakje, enzovoorts.

Steeds op ieder vakje het dubbele van het vakje ervoor. De koning lachte en dacht er goedkoop vanaf te komen. Maar als je het narekent kom je tot 18.446.744.073.709.551.615 graankorrels.

Genoeg om de hele aarde met een laag graan te bedekken! Je begrijpt dat er zoveel graan op de hele wereld niet was. Merk ook op dat ieder nieuw vakje méér graan bevat dan het graan van alle eerdere vakjes samen.

Exponentiële Functies

Bij Exponentiële functies komt de veranderlijke grootheid x (bijna altijd stelt x de tijd voor) voor in de exponent.

Afhankelijk van de waarde van het bijbehorende grondtal (groter dan 1 of kleiner dan 1, maar overigens wel altijd positief), is de grafiek van een Exponentiële functie stijgend dan wel dalend.

Bijvoorbeeld de grafiek van de functie y=2x ziet er als volgt uit:

de grafiek van de functie y=2x  ziet er uit als een Exponentiële functie
de grafiek van de functie y=2x

Het gaat dus om een grafiek die stijgt en dat komt omdat het grondtal (2) groter is dan 1. Maar bijvoorbeeld de grafiek van de functie y=(1/2)x ziet er uit als:

grafiek van de functie y=(1/2)x
grafiek van de functie y=(1/2)x

Deze grafiek daalt omdat het grondtal (0,5) kleiner is dan 1. Moeten we de waarde van een onbekende exponent gaan berekenen, dan moeten we met zogenaamde logaritmen gaan werken.

Logaritmen dienen om berekeningen uit te kunnen voeren bij Exponentiële functies.

Logaritmen

We hebben nooit geleerd hoe we een vergelijking aan moeten pakken, waarin een exponent moet worden berekend.

Daarom gaan we hier bespreken HOE we vergelijkingen, waarin onbekende exponenten voorkomen, moeten oplossen.

We moeten dat doen met behulp van logaritmen. Als we bijvoorbeeld willen weten welke macht van 3 de waarde 9 oplevert (dus met andere woorden:wat is de oplossing van de vergelijking 3x =9), dan schrijven we dat als: x= 3log 9.

Spreek uit: x= de derde logaritme van negen. Zeg nooit: ”drie logaritme negen” want dat is verwarrend en betekent iets anders. Nu weten we natuurlijk dat het antwoord 2 is want 32 =9.

Er geldt dus 3log 9 =2. De macht waartoe we 3 moeten verheffen om 9 te krijgen is 2. Willen we weten welke macht van het getal 4 de waarde 64 oplevert, dan noteren we dit probleem als 4log 64.

Omdat 64= 4x4x4=43 is het getal 3 het gezochte antwoord en daarom is 4log 64=3. We noemen 4 het grondtal van de logaritme en 3 de uitkomst of de exponent. 64 heet het argument van de logaritme.

Op dezelfde wijze vinden we in onderstaande afbeelding de uitkomsten:

De logaritmen helpen je bij het uitzoeken en uitrekenen van Exponentiële functies
Uitkomst logaritmen

Rekenvragen Exponentiële functies en logaritmen

  1. in ab = c bereken je b met?
    Antwoorden: A= Machten, B=Wortels, C= Logaritmen
  2. 3log 27 = 3 is gelijkwaardig aan:
    Antwoorden: A= 27=3, B=33=27, C= 33= 9
  3. Het grondtal bij de uitdrukking 4log 64=3 is?
    Antwoorden: A=3, B=4, C=64

De antwoorden van bovenstaande vragen kan je onderaan vinden in dit ARTIKEL.

Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.11 Blz 154-159

Geef een reactie

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.