Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.10 Blz 137-150

Met goniometrische functies wordt bedoeld de functies de te maken hebben met sinus, tanges en cosinus. Deze functies worden vaak als lastig gezien en ook vaak lastig om hier mee te rekenen. In dit artikel wordt er precies uitgelegd wat deze Goniometrische functies inhouden en hoe hier te rekenen mee. Voor de basisuitleg over verbanden en functies verwijs ik naar dit ARTIKEL.

Goniometrische Functies en Verbanden

Met Goniometrische functies worden bedoeld de functies sinus, cosinus en tanges. (Ook de secans, cosecans en cotanges bestaan, maar die zijn voor ons onbelangrijk en die mag je daarom direct weer vergeten).

De goniometrische functies worden ook wel ”cirkelfuncties” genoemd, omdat de betekenis kan worden verklaard met behulp van (het doorlopen van) een cirkel.

Overal waar sprake is van een ronddraaiende beweging spelen deze functies een belangrijke rol. Je kunt hierbij denken aan een turbinemotor, een propeller, een autowiel, een generator, een elektromotor, de aarde enzovoorts.

De grafieken van de sinus- en de cosinusfunctie zijn hieronder getekend. Waarbij de zwarte lijn de sinus is en de blauwe lijn de cosinus.

De cosinus en sinus hebben te maken met goniometrische functies
De sinus en cosinus

Je ziet dat beide grafieken erg veel op elkaar lijken. Als je de sinusfunctie over een afstand van 90° naar links verschuift, krijg je precies de cosinusfunctie en als je de cosinusfunctie over een afstand van 90° naar rechts verschuift, krijg je de sinusfunctie.

Je kunt beide grafieken dus met hetzelfde sjabloon tekenen. De grafiek van de tangesfunctie ziet er totaal anders uit, maar die is niet zo vreselijk belangrijk voor nu en die laten we daarom buiten beschouwing.

Enkele voorbeelden van sinusvormige verbanden zijn de verbanden tussen:

  • een wisselspanning ( of wisselstroom) en de tijd;
  • de uitwijking van een slinger en de tijd;
  • de uitwijking van een trillende massa aan een veer en de tijd;
  • de hoogte van een vast punt op een draaiend wiel en de hoek waarover het wiel is gedraaid.

De eenheidscirkel

Om de begrippen sinus, cosinus en tanges precies vast te leggen, wordt vaak gebruik gemaakt van een zogenaamde ”eenheidscirkel”.

Dat is een cirkel met straal 1 en middelpunt O die wordt getekend in een normaal x-y-assenstelsel. Een gegeven hoek α (alpha) wordt nu vanaf de positieve x-as uitgezet.

Is α positief dan wordt de hoek α linksom uitgezet. is α negatief, dan wordt de hoek α rechtsom uitgezet.

Het snijpunt P van het been van de hoek α met de eenheidscirkel heeft natuurlijk (zoals elk punt) twee coördinaten.

De x-coördinaat van P noemt men (per definitie) ”de cosinus van hoek α” en de y-coördinaat van P noemt men (per definitie) ”de sinus van hoek α”.

De eenheidscirkel wordt veel gebruikt bij het rekenen van de sinus en cosinus in goniometrische functies
De eenheidscirkel

Het op deze manier vastleggen van de begrippen sinus en cosinus heeft, ten opzichte van het bekende ”sos-cas-toa-verhaal”, het voordeel dat de hoek α niet meer tussen de 0° en 90° hoeft te liggen.

Dit is wel zo bij het tekenen van een hoek α in een rechthoekige driehoek, zoals bij ”sos-cas-toa”, wel zo is.

Bij gebruik van de eenheidscirkel mag α elke denkbare waarde aannemen, dus ook groter dan 90° en zelfs negatief.

Voor de tanges van hoek α blijft de afspraak dat tan α = sin α / cos α.

Graad en radiaal in goniometrische functies

Bij het tekenen van de grafieken van de sinus – en de cosinusfunctie hebben we zojuist op de x-as de hoek in graden (”deg” op je rekenmachine) uitgezet.

Een andere (veel belangrijker) eenheid om de grootte van een hoek aan te geven, is de radiaal (”rad” op je rekenmachine).

Een radiaal ontstaat wanneer de straal r van een cirkel langs de cirkelomtrek wordt gebogen, en de uiteinden worden verbonden met het middelpunt M van de cirkel.

In het middelpunt M is nu een hoek met grootte 1 radiaal ontstaan, (zie afbeelding die hieronder is afgebeeld).

Cirkel met radiaal aangegeven
Cirkel met radiaal aangegeven

Omdat een straal precies 2π maal langs de cirkelomtrek kan worden gelegd om een volledige bedekking van de omtrek te krijgen (de omtrek van een cirkel is immers 2π keer r) zal 360° dus overeenstemmen met 2π radialen.

Ofwel: π rad = 180° (1 rad is dan ongeveer 57,3°)

Het getal π

Het getal π speelt een belangrijke rol in de goniometrie (overigens niet alleen daar). Zo belangrijk dat we even apart zullen stilstaan bij dit eeuwenoude getal.

π is gedefinieerd als de verhouding tussen omtrek en diamter van een cirkel. π is een zogenaamd irrationaal getal wat betekent dat je het onmogelijke precies als een breuk kunt schrijven.

π word meestal afgerond op 3,1415 en daar laat ik het hier ook maar bij, want er komt anders geen einde aan het getal π

Het werken met een tabel in de goniometrische functies

Wie geen rekenmachine heeft, kan gebruik maken van een tabel. Hieronder zie je een tabel voor de sinus- en cosinuswaarden(in 3 decimalen nauwkeurig) voor hoeken van 0° tot 45°.

De sinus en cosinus waarden hebben veel te maken met goniometrische functies
Tabel sinus- en cosinus waarden

Het klinkt misschien vreemd, maar deze tabel is voldoende om de sinus en cosinus van elke hoek (van een geheel aantal graden) te berekenen.

Door goed naar de grafieken te kijken, gebruik te maken van symmetrieën en van het verband tussen sinus en cosinus lukt het altijd.

Kijken naar de grafieken (zie figuur hieronder) zie je bijvoorbeeld:
Sin α° = cos (90° – α°)
Sin α° = sin (180°- α°)
Cos α° = – cos (180° – α°) enzovoorts

De sinus en cosinus in een grafiek uitgebeeld

ZO kunnen we dus niet in de tabel voorkomende hoeken omrekenen naar hoeken die wel in de tabel staan.

Samenhang tussen sinus en cosinus

Zoals reeds opgemerkt lijken de grafieken van de sinusfunctie en de cosinusfunctie erg veel op elkaar en zou je ze met hetzelfde sjabloon kunnen tekenen.

Het enige verschil is, dat ze in horizontale richting ten opzichte van elkaar zijn verschoven over een afstand van 90° ofwel 1/2π radialen.

Dit is vrij eenvoudig te verklaren uit het feit dat beide grafieken ontstaan bij het maken van één omwenteling in de eenheidscirkel.

De sinus vonden we op de y-as en de cosinus op de x-as. En de x-as en de y-as staan loodrecht op elkaar en liggen dus, bij draaiing om de oorsprong, 90° uit elkaar!

Sin α° = cos (90°- α°) ofwel sin α = cos ( 1/2πα ) of ook cos α° = sin (90° – α° ) ofwel cos α = sin ( 1/2πα )

Amplitude, periodetijd, frequentie, faseverschuiving en verticale verschuiving

Om een paar belangrijke begrippen bij de sinus – en de cosinusfunctie vast te leggen, kijken we nog even naar de grafieken.

Bij de sinusgrafiek zien we dat de grafiek in de oorsprong begint. De grootste waarde die de sinus vervolgens aanneemt is 1 en de kleinste waarde is -1.

Het verschil tussen grootste en kleinste waarde is dus 2 en de helft daarvan noemen we de amplitude.

Dat is eigenlijk de maximale uitwijking ten opzichte van de zogenaamde ”neutrale lijn”. Verder zien we dat elke 2π radialen (elke 360°) de grafiek zich herhaalt.

Daarom noemen we 2π de periode. Als de letter x de tijd voorstelt, zoals heel vaak het geval is, spreken we in plaats van over de periode, ook wel over de periodetijd T.

Het aantal periodes dat in een één seconde past, noemen we de frequentie f.

Er geldt dus altijd dat f keer T = 1
Symbool: f
Eenheid: Hz (hertz)
In formule f= 1/T (T is de trillingstijd)

Wanneer de letter x niet de tijd voorstelt (dus wanneer we het niet hebben over sinussen die optreden in bijvoorbeeld natuurkunde of elektrotechniek en we dus gewoon binnen wiskunde blijven), bedoelen we met ”frequentie”.

Het aantal volledige golven dat in een gebied met breedte 2π optreedt. De frequentie van de ”standaard-sinus” sin x is dus 1.

Door de amplitude en de frequentie te veranderen, kunnen we de grafiek als het ware ”uitrekken” en ”inkrimpen”.

In verticale richting met de amplitude, in horizontale richting met de frequentie. Dit speelt een rol bij bijvoorbeeld geluidsgolven. Die zijn sinusvormig.

De amplitude hangt hier samen met de sterkte van het geluid en de frequentie met de toonhoogte. Behalve uitrekken en inkrimpen zouden we de grafiek ook in zijn geheel kunnen gaan verschuiven.

We veranderen dan dus niets aan de vorm van de grafiek! Wanneer dat in horizontale richting (naar links/rechts) gebeurt, praten we over faseverschuiving.

Dit komt veel voor in de elektrotechniek, bij het aansluiten van spoelen en condensatoren op een wisselspanning.

Verschuiving in verticale richting (naar boven/beneden), noemen we gewoon verticale verschuiving.

Dit komt voor in de elektrotechniek wanneer we een wisselspanning in serie schakelen met een gelijkspanningsbron zoals een batterij of een accu.

De grafiek van f(x) = Cos x ontstaat door de grafiek van sin x 0,5π radialen (90°) naar links te verschuiven.

Alles wat we zojuist hebben gelezen over amplitude, periode, frequentie en verschuiving, geldt óók voor de cosinusgrafiek.

Ook van de tanges zouden we de grafiek kunnen tekenen. Die grafiek verloopt totaal anders dan de grafieken van sin x en cos x. Omdat de tanges veel minder belangrijk is dan de sinus en cosinus.

De algemene gedaante van het functievoorschrift in goniometrische functies

Hoe komen de amplitude, de frequentie, de faseverschuiving en de verticale verschuiving nu tot uitdrukking in het functievoorschrift (de ”formule”) van de functie?

Als: de amplitude = A
de frequentie = B
de faseverschuiving naar links = C
de verticale verschuiving naar boven = D

Wordt het functievoorschrift van bijvoorbeeld de sinus: A· sin B (x+C) +D

De begrippen sinus en cosinus kunnen we bijvoorbeeld tegenkomen bij de beschrijving van eb en vloed, de lengte van dagen, geluid, licht, draaiend machines en de daardoor veroorzaakte trillingen en bij elektrische stromen en spanningen.

Rekenvoorbeelden Goniometrische functies

Nu geef ik een aantal rekenvoorbeelden die het gehele verhaal moeten verduidelijken

Voorbeeld 1

Gegeven is dat sin α = 0,6. Hoe groot is cos α en hoe groot is tan α ?

Oplossing

Altijd geldt dat sin² α + cos² α =1. Omdat sin α = 0,6 geldt sin² α = 0,36. Dus 0,36 + cos² α = 1 en dus cos² α = 0,64

Voor cos α vinden we dan: cos α = +√0,64 = +0,8 of cos α = – √0,64 = -0,8. Er zijn dus TWEE mogelijkheden. (De eerste mogelijkheid hoort bij een hoek α van 36,87° en de tweede mogelijkheid bij een hoek van α van 143,13°).

Omdat tan α = sin α/ cos α vinden we : tan α =0,6/0,8 = 0,75 of: tan α = 0,6/-0,8= -0,75. Ook voor tan α kunnen er dus twee antwoorden uitkomen.

Voorbeeld 2

Hoe groot is de periodetijd van een wisselspanning met een frequentie van 50Hz? (ons elektriciteitsnet)

Oplossing:
er geldt altijd dat f keer T = 1. Hier wordt dat 50 keer T = 1. Dus T=1/50 seconde ofwel 20 milliseconden.

Voorbeeld 3

Teken de grafiek van functie g(x) = 3 sin 0,5x voor 0≤ x ≤ 4π.

Oplossing:

Uitgaande van de standaardfunctie f(x) = sin x moeten we de amplitude 3 maken (dus de ”golven” verticaal 3 keer zo groot maken) en de frequentie 1/2 (dus horizontaal 2 keer zo weinig ”golven”).

De grafiek wordt dan

De gevraagde sinus grafiek in de goniometrische functie
De sinus grafiek

De sinus varieert in hoogte dus tussen de +3 en de -3. Eén volledige periode duurt nu twee keer zo lang (4π radialen, dus ongeveer 12,56 radialen wat overeenkomt met 720°) als bij de ”standaard-sinus”.

Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.10 Blz 137-150

Geef een reactie

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.