Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module 1 Wiskunde

Gebroken functies is ook zo onderwerp dat veel in de wiskunde wordt gebruikt. Bij een gebroken functie denk je al snel aan een hyperbool (wat dit is wordt straks uitgelegd). Ook krijg je bij gebroken functies te maken met omgekeerd evenredige verbanden. Hoe hier te rekenen mee en hoe dit in een grafiek staat wordt allemaal hieronder uitgelegd. Voor de basis uitleg over functies en verbanden verwijs ik u naar dit ARTIKEL.

Gebroken functies en omgekeerd evenredige verbanden

De grafiek van een gebroken functie is een zogenaamde hyperbool. Hieronder is een voorbeeld van zo’n hyperbool getekend.

Hier is een hyperbool in te herkennen die uitmaakt van gebroken functies
De hyperbool in de grafiek

Enkele voorbeelden van verbanden die volgens een hyperbool verlopen, zijn de verbanden tussen:

  • de druk en het volume van een afgesloten hoeveelheid gas, als de temperatuur hetzelfde blijft;
  • de elektrische stroom en de weerstand, als een regelbare weerstand op een constante spanning wordt aangesloten;
  • de tijdsduur en de snelheid bij het afleggen van een vaste afstand;
  • de luchtdruk en de hoogte;
  • de golflengte en de frequentie van elektromagentische golven;
  • het toerental en de diameter van een boor bij een vaste snijsnelheid.

De als voorbeeld getekende grafiek is de grafiek van de hyperbool met functievoorschrift y=1/x, waarbij we voor x alleen positieve getallen hebben gekozen.

Er zijn ook andere gebroken functies mogelijk. Maar we beperken ons hier tot die gebroken functies, die geschreven kunnen worden als x·y=vast getal, ofwel:

y=vast getal/x. Dus bijvoorbeeld y=2/x, y=100/x, y=0,5/x enzovoorts. De grafieken van al deze functies vertonen een grote gelijkenis.

Al deze grafieken hebben de naam hyperbool. Zoals je misschien al weet is dat als we een hyperbool krijgen, je een kegel op een bepaalde manier moet doorsnijden.

Hyperbolen worden ook toegepast bij navigatieproblemen. Wanneer er, zoals hier, een verband tussen y en x bestaat, dat kan worden geschreven als y=vast getal/x, zeggen we dat er sprake is van een zogenaamd omgekeerd evenredig verband.

Men zegt ook wel dat y en x omgekeerd evenredig met elkaar zijn, of dat y en x een omgekeerd evenredigheid vormen.

Voorbeelden en vraagstuk

Vergelijk dit met de term ”recht evenredig” die we zijn tegengekomen bij lineaire functies. Die term geeft aan dat y= vast getal·x.

Hier is het dus net andersom, GEDEELD DOOR x, vandaar het woord ”omgekeerd”.

Voorbeelden gebroken functies

1 teken de grafiek van het verband tussen x en y, als geldt dat x·y=2. Neem voor x alleen positieve getallen.

Oplossing Uit x·y=2 volgt y=2/x. Van deze hyperbool berekenen we voor een paar waarden van x de bijbehorende waarde van y.

xy
0,54
12
21
40,5

We tekenen de gevonden punten in een assenstelsel en vervolgens schetsen we de grafiek door de punten. Omdat we niet naar negatieve x-waarden hoeven te kijken, bestaat de grafiek alléén rechts van de oorsprong O.

Hyperbool van y=2/x van de gebroken functie
Hyperbool van y=2/x

2 Voor welke waarde van x zal, in voorbeeld 1, de waarde van y gelijk worden aan 24?

Oplossing y=2/x. Na invulling van de gegeven y-waarde staat er: y=2/x ofwel 24x=2. Dus y=2/x=1/12 is afgerond 0,083.

Opdracht voor thuis

Vraagstuk

Vraag: In bovenstaande assenstelsel is de grafiek getekend van de functie?

A= y=x+1
B= y=1/x
C= y=x 2 +1

Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module 1 Wiskunde

Geef een reactie

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.