Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 paragraag 2.6 Blz 107-118

Je hebt veel verbanden en functies die lineair lopen. Dit zijn dus de lineaire functies. In de wiskunde kom je ze veel tegen maar ook in de techniek en natuurkunde. In dit artikel wordt de focus gelegd op de lineaire functies met daarbij voorbeelden en oplossingen. Informatie over de basis van Functies en Verbanden? Kijk dan eens naar dit artikel.

lineaire functies en verbanden

De grafiek van een lineaire functie is altijd een rechte lijn, dus bijvoorbeeld zoals hieronder is getekend.

De lineaire functies zijn altijd rechte lijnen zoals hier is getekend over de x en y-as
Lineaire functie is een rechte lijn

Enkele voorbeelden van verbanden die volgens een rechte lijn verlopen, zijn de verbanden tussen:

  • de elektrische stroom en de spanning bij een weerstand;
  • de afgelegde weg en de tijd, bij een eenparige beweging;
  • de versnelling van een voorwerp en de kracht die op dat voorwerp werkt;
  • het gewicht en de massa van een voorwerp;
  • graden Fahrenheit en graden Celsius;
  • de elektrische weerstand van een draad en de temperatuur van die draad;
  • de snelheid en de tijd bij een eenparig versnelde of vertraagde beweging.

De als voorbeeld getekende grafiek is een rechte lijn, die niet door de oorsprong gaat en die stijgt (dat wil zeggen dat bij toenemende x óók y zal toenemen).

Er zijn ook lineaire functies waarvan de grafiek daalt. En soms gaat de grafiek (de rechte lijn) door de oorsprong.

als de grafiek door de oorsprong gaat, zegt men dat er tussen x en y een recht evenredigheid (ook wel: een recht evenredig verband) bestaat. Gaat de grafiek niet door de oorsprong, dan spreekt men van een lineair verband.

Voorbeelden met grafiek

We bekijken enkele van de genoemde voorbeelden.

  1. De samenhang tussen stroom en spanning bij een weerstand (de wet van Ohm):
Lineaire functies is dit een verband van
Samenhang stroom en spanning

De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. Er is een recht evenredig verband tussen I en U. Dit houdt bijvoorbeeld in: als de spanning 6x zo groot wordt, wordt de ook de stroom 6x zo groot.

2. De samenhang tussen lengte en temperatuur bij een metalen staaf

De samenhang tussen lengte en temperatuur van een metalen staaf is een lineair verband van lineaire functies
Samenhang tussen lengte en temperatuur

De grafiek is een rechte lijn niet door de oorsprong. Er is sprake van een lineair verband. In dit voorbeeld is er sprake van een stijgende lijn. In het volgende voorbeeld is er sprake van een lineair verband met een dalende lijn.

3. De samenhang tussen snelheid en tijd bij een voorwerp dat loodrecht omhoog wordt gegooid:

Lineaire functies die te maken hebben met de snelheid en tijd van een vorowerp
Samenhang tussen snelheid en tijd

Het functievoorschrift van een lineaire functie

Het functievoorschrift van een lineaire functie heeft als algemene gedaante y=mx+n, waarin m en n vaste getallen voorstellen.

Dus bijvoorbeeld y=3x+2 of y=-2x+7 of y=0,5x+0 enzovoorts. Het getal m heet de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn. Het geeft aan hoeveel ”hokjes” de lijn stijgt, als we één ”hokje” naar rechts gaan.

Als m negatief is, is er sprake van een ”negatieve stijging” ofwel van een daling en zal de rechte lijn dus dalen. Als m nul is loopt de rechte lijn horizontaal. De waarde y is dan overal even groot.

We spreken nu over een constante functie. Het getal n geeft aan wáár de rechte lijn de y-as snijdt. Hieronder in de foto galerij enkele voorbeelden.

Merk op dat het getal m bepalend is voor de richting van de lijn (vandaar natuurlijk de naam richtingscoëfficiënt) en het getal n voor de plaats van de lijn.

Lijnen met dezelfde waarde voor m hebben dezelfde richting en zijn dus evenwijdig. Lijnen met dezelfde waarde voor n gaan door hetzelfde punt op de y-as.

Een rechte lijn ligt volledig vast (is volledig bepaald) door TWEE punten van die lijn. Dat kunnen bijvoorbeeld twee meetwaarden zijn.

Wanneer we dan andere punten van die lijn te weten willen komen, zouden we kunnen (lineair) interpoleren of (lineair) extrapoleren. Maar dit wordt zometeen behandeld. Eerst wat voorbeelden.

Voorbeelden voor het bepalen van de grafiek of functievoorschrift

1 teken de grafiek van de functie y=-0,5x+0,5.

Oplossing: We beginnen op de y-as bij de waarde 0,5. Dat is ons eerst punt. Vervolgens gaan we 1 naar rechts en 0,5 naar beneden, of wat nog beter is, 2 naar rechts en 1 naar beneden, of 3 naar rechts en 1,5 naar beneden.

In het laatste geval komen we precies op een ”roosterpunt” uit en kunnen we nauwkeuriger tekenen.

De gevraagde grafiek van een lineaire functie
Gevraagde grafiek

2 Welke lijn gaat door het punt P(7,15) en is evenwijdig aan de lijn y=4x+3?

Oplossing: De gevraagde lijn heeft richtingscoëfficiënt 4. Het wordt dus iets van y=4x+….. als we voor x 7 invullen en voor y 15, moet het kloppen, want de lijn gaat door P(7,15). Dus 15=4 keer 7 + …..

Om het kloppend te krijgen moeten we op de stippeltjes invullen 15-28=-13. Het antwoord is dus y=4x=13.

Lineair interpoleren en extrapoleren

We hebben gezien dat wanneer tussen twee grootheden en lineair verband bestaat, de grafiek van hun onderlinge samenhang een rechte lijn is.

We gaan er vanuit dat we van deze rechte lijn twee punten kennen. Als we nu de ligging van een punt tussen deze twee bekende punten te weten willen komen, spreken van (lineair) Interpoleren.

Als we ligging van een punt buiten de twee bekende punten te weten willen komen, noemen we dat (lineair) extrapoleren.

Dit laatste heeft vaak iets weg van het doen van een ”voorspelling”.Aan de hand van een voorbeeld zal een en ander worden toegelicht.

Voorbeeld Lineair interpoleren en extrapoleren

Voorbeeld: Hieronder is de grafiek getekend van het verband tussen de thermospanning U en de temperatuur t van een thermokoppel.

Lineaire functies: Het inter en extrapoleren in een voorbeeld weergegeven
Thermokoppel

We weten dat bij 150°C de thermospanning 1 mV is en bij 250°C 2 mV. Dat zijn de twee bekende punten.

Als nu zou worden gevraagd naar de thermospanning bij 175°C (interpoleren) en bij 300°C (extrapoleren) zouden we het beste als volgt te werk kunnen gaan:

Een temperatuurstijging van 100°C (namelijke 150°C naar 250°C) geeft een spanningstoename van 1 mV (namelijk van 1 mV naar 2 mV).

Bij een temperatuurstijging van 25°C zal de spanning dus 0,25 mV toenemen. Bij 175°C is de spanning dus 1 mV (afkomstig van 150°C) plus 0,25 mV (vanwege de 25°C die erbij komt) is 1,25 mV.

Als de temperatuur is opgelopen tot 300°C wordt de spanning 2mV (afkomstig van 250°C) plus tweemaal 0,25 mV (vanwege de twee keer 25° die erbij komt) is 2,5 mV.

De bovenstaande redenering mag je natuurlijk alleen toepassen op een stuk van de grafiek waar sprake is van een rechte lijn.

Als de lijn bijna recht is en de punten liggen niet te ver uit elkaar, is de methode ook nog wel toelaatbaar. We krijgen dan natuurlijk niet meer de precieze waarde, maar een benadering. Vaak is dat geen groot probleem.

Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 paragraag 2.6 Blz 107-118

Geef een reactie

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.