Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.8 Blz 121-127

Kwadratische functies worden altijd gezien als moeilijke functies binnen de wiskunde. Maar met een duidelijke uitleg en plaatjes en rekenvoorbeelden valt het allemaal wel mee. In dit artikel leg ik zo duidelijke mogelijk uit wat een kwadratische functie is en hoe hier te rekenen mee. Ook komt de wortelfunctie er nog bij kijken.

Kwadratische functies en verbanden

De grafiek van een kwadratische functie is altijd een zogenaamde parabool. Hieronder is een voorbeeld van zo’n parabool getekend.

Kwadratische functies kunnen als dalparabool getekend worden
Kwadratische functie als parabool getekend

Enkele voorbeelden van verbanden die volgens een parabool verlopen, zijn de verbanden tussen:

  • de afgelegde weg en de tijd, bij een eenparig versnelde of eenparig vertraagde beweging;
  • de oppervlakte en de straal van een cirkel;
  • de luchtweerstand en de snelheid van een auto of vliegtuig;
  • de draagkracht (lift) en de snelheid van een vliegtuig;
  • de centrifugaalkracht en de omtreksnelheid van een ronddraaiend voorwerp;
  • de rotatie-energie en de hoeksnelheid van een ronddraaiend voorwerp;
  • het elektrisch vermogen in een weerstand en de stroom door die weerstand;
  • de kinetische energie en de snelheid van een bewegend voorwerp.

In al deze gevallen spreekt men van een kwadratisch verband

Voorbeelden kwadratische functies

De als voorbeeld hierboven getekende grafiek is de grafiek van de parabool met functievoorschrift: y=x2. Er zijn ook andere kwadratische functies mogelijk.

Bijvoorbeeld de functies y=0,5x2, y=2x2,y=-x2, y=x2+1,5 y=-2x2+3 enzovoorts. Ook is het mogelijk dat in het functievoorschrift van een kwadratische functie de letter ”x” voorkomt, zoals bijvoorbeeld bij:

  • y=x2-5x+6
  • y=x2-2x+1
  • y=-x2+4x+4

Omdat dit zich bij de toepassing van kwadratische functies niet zo vaak voordoet en omdat het de berekeningen veel moeilijker maakt, zal ik daar geen aandacht aan besteden.

Van enkele van de genoemde functievoorschriften tekenen we hieronder de grafiek:

Zoals gezegd is de grafiek van elke kwadratische functies een parabool. Afhankelijk van de ligging van de parabool spreekt men van een ”bergparabool” of ”dalparabool”. Zie bovenstaande grafieken.

Als er voor x2 een positief getal staat is het altijd een dalparabool. Bij een negatief getal een bergparabool. Een parabool is een zogenaamde kegelsnede.

Als men een kegel (een”zandloper”) op een bepaalde (vlakken) manier doorsnijdt, ontstaat op de plaats van de doorsnijding een parabool.

Andere mogelijke doorsnijdingsfiguren van een kegel zijn bijvoorbeeld een cirkel, een hyperbool en een ellips (een”ovaal”). Men noemt dit de ”kegelsnede”.

Een woord dat onverbrekelijk is verbondenmet het woord ”parabool”, is het woord kogelbaan. Het woord kogelbaan staat voor iederen beweging die is samengesteld uit één bewegign met constante snelheid en loodrecht daarop een beweging die eenparig versneld of vertraagd is.

Dus een voetbal die door de lucht wordt weggetrapt, een bom die uit een vliegtuig valt (het mag ook een voedselpakket zijn), een tennisbal, een kogel uit een geweer, of water uit een tuinslang. Al deze banen zijn parabolen.

De parabool en zijn belangrijkste eigenschappen

Een parabool heeft nog een heel bijzondere eigenschap die in de techniek van groot belang is. elke parabool heeft een speciaal punt, het zogenaamde brandpunt (of focus) F.

In de onderstaande figuur is een parabool getekend met daarin de plaats van dat brandpunt.

De kwadratische functies hebben allemaal een parabool en die parabool heeft een brandpunt
Brandpunt parabool

Het bijzondere is nu dat wanneer men in dit brandpunt een stralingsbron zet, de stralen na weerkaatsing door de parabool, in evenwijdige bundel de parabool zullen verlaten.

En omgekeerd zullen alle stralen (afkomstig van een evenwijdige bundel) die op de parabool vallen, na weerkaatsing door het brandpunt gaan! Zie onderstaande afbeelding

De kwadratische functies hebben allemaal een parabool en die parabool heeft een brandpunt waar alles in weerkaatst

Van deze eigenschap wordt gebruikgemaakt bij radarantennes, radio en TV ontvangers, schotelantennes, brandglazen, zoeklichten, reflectoren van lampen die een lichtbundel moeten leveren enzovoorts.

De wortelfunctie

Als laatste moeten we iets zeggen over de wortelfunctie. Als we bij de functie y=x2 de plaats van x en y verwisselen, staat er x=y2 ofwel y=√x. We spreken nu over een wortelfunctie.

Eigenlijk is er niets nieuws onder de zon. Al het voorgaande blijft geldig. alleen is het natuurlijk zo dat de grafiek nu, door het verwisselen van x en y een 90° gekantelede parabool is.

Een wortelfunctie heeft dus ook een parabool als grafiek. Eigenlijk moeten we zeggen: een ”halve” parabool vanwege het feit dat een wortel nooit negatief kan zijn. Maar dat is bijzaak. Hieronder zie je zo grafiek getekend.

De wortelfunctie is ook een kwadratische vergelijking en heeft kwadratische functies
Wortelfunctie

Voorbeelden van Wortelfuncties en kwadratische functies

Hieronder geef ik een 2-tal voorbeelden weg met oplossing.

1 Teken de grafiek van het verband tussen het elektrisch vermogen P(watt) en de stroom I (ampere) bij een weerstand die een waarde heeft van 5 ohm. De I neemt waarden aan tussen -3A en +3A.

Oplossing

De formule voor het vermogen in een weerstand is P = I2 x R. Hier wordt dat dus P= 5I2. Omdat de horizontale as (I) en de vertical as (P) verschillende ”dimensies” (eenheden) hebben.

Hoeven we niet (ja zelfs kunnen we dat niet) voor beide assen dezelfde schaalverdeling aan te houden.

Als het een zuiver wiskundig probleem zou zijn moeten we WEL altijd de x-as en y-as dezelfde schaalverdeling geven. We rekenen voor een paar waarden van I de waarde van P uit.

IP
-345
-220
-15
00
15
220
345

Met behulp van de zo gevonden punten tekenen we de gevraagde grafiek. De grafiek die het gevraagde verband aangeeft wordt dus:

Grafiek met de formule om het vermogen in een weerstand te berekenen
Grafiek vermogen in een weerstand

2. Teken de grafiek die het verband aangeeft tussen de oppervlakte A van een cirkel en de straal r van die cirkel. Neem voor r waarden van 0cm tot 4cm.

Oplossing

De formule voor de oppervlakte A van een cirkel is A= π · straal2 (π is ongeveer 3,14). De straal r zetten we horizontaal uit en de oppervlakte A verticaal.

Omdat we voor r een aantal cm invullen, vinden we voor A een aantal cm2 . Beide assen hebben dus weer verschillende eenheden, namelijk cm en cm2 . We hoeven dus niet voor beide assen dezelfde schaalverdeling aan te houden.

Omdat een straal natuurlijk nooit negatief kan zijn, krijgen we hier een ”halve” parabool. We rekenen weer voor een paar waarden van r de waarde van A uit, en tekenen met behulp van de zo gevonden punten de grafiek.

rA
00
13,14
212,56
328,26
450,24
Tabel met waarden

De grafiek van het gevraagde verband wordt nu:

Grafiek van de oppervlakte van de cirkel
Grafiek van de oppervlakte van de cirkel

Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module1 Hoofdstuk 2 Paragraaf 2.8 Blz 121-127

Geef een reactie

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.