Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module 1 Hoofdstuk 2 Blz 92-97

Eigenlijk sta je er niet bij stil dat je tijdens rekenen en wiskunde gebruikt maakt van talstelsels. Vele mensen vinden het rekenen met talstelsels moeilijk, omdat ze gek worden van de cijfertjes. Echter is dit niet zo moeilijk als je maar de goede methode hanteerd, daarom in dit artikel welke stelsels er zijn en hoe je hier makkelijk mee kan rekenen.

De 4 verschillende talstelsels met uitleg

We staan er waarschijnlijk nooit bij stil, maar als we in de wiskunde berekeningen uitvoeren, doen we dat in het tientallig (of decimaal) stelsel. Dat is zo vanzelfsprekend dat we ons dat niet eens meer bewust zijn.

Pas wanneer we gaan kijken hoe bijvoorbeeld computers hun berekeningen uitvoeren, worden we ermee geconfronteerd dat het ook nog anders kan en dat er ook nog andere talstelsels bestaan.

Dat mensen rekenen in het tientallig stelsel vindt zijn oorsprong in het feit dat mensen over 10 vingers beschikken.

Het decimale stelsel

In het tientallig stelsel werken we met 10 verschillende symbolen (10 verschillende cijfers), aangeduid met 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Deze cijfers vormen de onderdelen van al onze berekeningen.

Wanneer we kijken naar bijvoorbeeld het getal 4327, dan betekent dat dat dit getal is opgebouwd ui 4 duizendtallen, 3 honderdtallen, 2 tientallen en 7 eenheden. Anders geschreven: 4 · 103 + 3 · 102 + 2 · 101 + 7· 100 .

Nu zien we de rol van het getal 10, dat de basis van dit stelsel vormt. Maar hoe rekenen computers dan? Computers kunnen geen 10 verschillende symbolen uit elkaar houden. Daarvoor zijn ze te dom.

Hun intelligentie houdt op bij TWEE. Slechts TWEE verschillende ”toestanden” (overeenkomend met twee verschillende symbolen kunnen ze herkennen. Dat kan bijvoorbeeld zijn:

  • WEL een elektrische spanning of NIET een elektrische spanning;
  • Een schakelaar die OPEN staat of DICHT;
  • Een magnetische NOORDpool of een magnetische ZUIDpool.

Het binaire stelsel

Om deze reden zullen computers moeten rekenen in het tweetallig (of binair) stelsel. In dit stelsel wordt gewerkt met 2 verschillende symbolen, aangeduid met 0 en 1. Dit zijn dus de enige cijfers die we gebruiken. En de basis van het stelsel is nu het getal 2.

De opbouw is precies zoals bij het tientallig stelsel. Het getal 110101 bijvoorbeeld, heeft dus de betekenis:

1 · 25+ 1 · 24+ 0 · 23+ 1 · 22 +0 · 21+1 · 20 Ofwel 32+16+0+4+0+1= 53

Het getal 110101 zou ook voor kunnen komen in het decimaal stelsel (namelijk honderdtien duizend honderd een) en om misverstanden te voorkomen schrijven we daarom 110101(2). Het vermelden van het talstelsel waarin we werken moeten we dus steeds dus!

Pas wanneer er absoluut geen enkel misverstand mogelijk is, mogen we deze aanduiding weglaten. Het eerder in dit artikel genoemde getal 4327 moeten we dus schrijven als 4327(10).

Het tellen van bijvoorbeeld 1 tot en met 20 wordt in het binair stelsel: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10010, 10011, 10100.

Als we het decimaal stelsel vergelijken met het binair stelsel, zien we bij beide stelsels voordelen EN nadelen. In de natuurkunde bestaat een ”wet van behoud van energie”.

In de wiskunde lijkt er soms wel een ”wet van behoud van ellende” te bestaan of, om met Johan Cruyff te spreken : ”Ieder voordeel hep z’n nadeel”.

Het binaire talstelsel bestaat uit 1 en 0
Binaire stelsel bestaat ui 1 en 0

Voor en nadelen binair stelsel

DECIMAAL Stelsel:
Voordeel: Weinig posities (plaatsen) nodig waar cijfers staan. Een groot getal als 4327 heeft slechts 4 posities nodig.
Nadeel: Veel (namelijk 10) verschillende symbolen (cijfers) nodig.

BINAIR Stelsel
Voordeel: Weinig (namelijk 2) verschillende symbolen (cijfers) nodig.
Nadeel: Veel posities nodig om cijfers op te schrijven. Een klein getal als 53 heeft, zoals we hebben gezien, al 6 posities nodig (110101)

Omdat computers rekenen in het binair stelsel, zijn er enorm veel posities nodig om de getallen die in berekeningen voorkomen te noteren. Maar daar staat tegenover dat computers onvoorstelbaar snel kunnen rekenen.

Het cijfer dat het meest naar links staat is voor de grootte van een getal het belangrijkst. We noemen dit most significant. Het meest rechtse cijfer is daarom least significant

Het octale talstelsel

Behalve de getallen 10 en 2 kunnen we ELK getal dienst laten doen als basis van een talstelsel. Op die manier krijgen we dan het drietallig stelsel, het viertallig stelsel, enzovoorts. Voor nu bespreken we het octale stelsel.

In het octale stelsel werken we dus met 8 symbolen. Het zijn de cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Het getal 327(8) betekent 3 · 82+ 2 · 81+ 7 · 80 (wat in het decimaal stelsel de waarde 3·64 + 2·8 + 7·1 = 215 op zou leveren. Dus 327(8) = 215(10)).

octaal talstelsel

Het hexa-decimale stelsel

In het hexa-decimale stelsel werken we met 16 symbolen. Omdat de ”gewone” wiskunde slechts 10 symbolen kent, moeten we er 6 bijverzinnen. Er is gekozen voor de eerste zes (hoofd-) letters van het alfabet: A, B, C, D, E en F.

A komt overeen met 10, B met 11 enzovoorts. F komt dus overeen met 15 en is het grootste cijfer in het zestientallig stelsel net zoals 9 dat is in het tientallig stelsel. De betekenis van 4BD(16) is dus:

4 · 162 + 11 · 161 + 13 · 160 = 4 · 256 + 11 · 16 + 13 · 1 = 1213(10). Verwijzend naar de ”wet van behoud van ellende”, mogen we zeggen dat bij een groter talstelsel het getal kleiner wordt en omgekeerd.

Omrekenen / omzetten van talstelsels

Binair naar HEXADECIMAAL –> De byte 1011100110001111 is dus in hexadecimale notatie: 1011 1001 1000 1111 (2) = B98F (16). Dit omdat we de 1 en 0 in 4 groepjes verdelen en daarom bij deze uitkomst komen. Andersom geld het hetzelfde

Octaal naar 10 tallig –> En dus is 2463(8) in het achttallig stelsel gelijk aan 3 + 6 · 8 + 4 · 82 + 2 · 83 = 1331(10) in het tientallig stelsel. Andersom dus ook!

Binair naar Tientallig –> En dus is 10111(2) in het binaire stelsel gelijk aan 1 + 1 · 2 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 = 23(10) in het tientallig stelsel. Andersom dus ook!

Bronvermelding: https://jeweka.nl/category/theorie-en-werkboeken Module 1 Hoofdstuk 2 Blz 92-97

Geef een reactie

Deze site gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.